Parodia : acelera aê

De trigonometria e teorema eu vou falar,
é fácil de aprender basta estudar,
e o metro quadrado ai vem
triangulo,retângulo,losango também..

Estuda aê é fácil,você vai ver é só querer
pega o livro aê,pra não ficar de recu..

E mais uma vez eu vou falar....
se quiser aprender tem que estudar
e com explicação você vai entender

Área da circunferencia

Para calcular a área do circulo usamos a  formula:

C = 2 * r * π

Lembre-se que: π = 3,14
ex:
Determine a área de uma circunferência de raio medindo 20 cm. (Use π = 3,14)

Solução: Temos que
r = 20 cm
π = 3,14
A = ?
A = 3,14∙20²
A = 3,14∙400
A = 1256 cm²

Area do trapézio

Calculamos a area do trapézio da seguinte forma:

Base maior(B)   +  Base menor(b) x altura sobre 2

Formula: B + b x h
                    2

ex:

Área de figuras planas

O metro quadrado:

Un metro quadrado equivale a:

• 1.000.000 mm²

• 10.000 cm²

• 100 dm²

• 0,01 ares ou dam²

• 0,0001 hectares ou hm²

• 0,000001 km²

Cálculo da Área do Triângulo:

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.
A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

Cálculo da Área do Paralelogramo:

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula ao lado:

Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.

Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.

Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.
Consideremos a base b como a metade da diagonal d₁ e a altura h como a metade da diagonal d₂, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:

Teorema de Pitagoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e bHipotenusa: c

 O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo:Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir

x² = 9² + 12²x² = 81 + 144x² = 225√x² = √225x = 15

Trigonometria.

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.

No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela, veja:

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A matemática é a única ciência exata em que nunca se sabe do que se está a falar nem se aquilo que se diz é verdadeiro.

Bertrand Russell

Inequação do 1ºgrau

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.

Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2

Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x = 3

Zero da função

Designa-se por zero de uma função  todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero. Poroutras palavras, zero de uma função  é todo o valor de x, pertencente ao domínio dessa função, tal que  = 0.
Graficamente, o zero de uma função é todo o valor das abcissas dos pontos de interseção do gráfico de  com o eixoOx.
Exemplo:



Os zeros da função  são:
x = 0, x = 3 e x = 6
x = 11 não é zero da função  em virtude de esse valor não pertencer ao domínio de .

Função Afim,Linear e Constante

Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

Domínio: D = R
Imagem: Im = R

São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.

Função linear

Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:

O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

Domínio: D = R
Imagem: Im = R

Função constante

Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:

O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.

Domínio, contradomínio e imagem

Domínio, Contra-Domínio e Imagem de uma função
Em uma função f : A ! B o domínio é o conjunto A e o contra-domínio é o conjunto B. A imagem de
f é o subconjunto de B cujos elementos estão associados a algum elemento do domínio. Genericamente
denotamos os pares ordenados de f por (x; y), onde x 2 A e y 2 B, e escrevemos y = f(x) (lê-se f de
x é igual a y). Dizemos que y é a imagem de x sob a função f. Dizemos também que x é a variável
independente e que y é a variável dependente. O Exemplo 1.3 ilustra tais conceitos.
Exemplo 1.3 Dados os conjuntos A =

1; 2; 3; 4
ª
e B =

4; 5; 6; 7
ª
, a relação mostrada na figura a
seguir dene uma função f : A ! B.
f
A B

f
A B
4 - 7
3-4
2-7
1-5

Nesta função temos:
² domínio: D(f) =

1; 2; 3; 4

² contra-domínio: CD(f) =

4; 5; 6; 7

² imagem: I(f) =

4; 5; 7

Função e relação

Dados os conjuntos A =

1; 3; 5; 7
ª
e B =

3; 9; 15; 20
ª
, a relação R : A ! B, tal que
R =

(a; b)j b = 3a
ª
;
é dada explicitamente pelos pares ordenados R =

(1; 3); (3; 9); (5; 15)
ª
. Uma outra maneira de se
representar uma relação é através do diagrama de Venn (Figura 1.1).
A B
5 - 15
3 - 9
1 - 3

Figura 1.1: Representação de uma relação por diagrama de Venn.

Sistemas de equações do 2º grau

Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:

Exemplo 1

Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6
x = 6 – y

Substituindo o valor de x na 1ª equação:

x² + y² = 20
(6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2)

y² – 6y + 8 = 0

∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4

a = 1, b = –6 e c = 8

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Para y = 4, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2

Par ordenado (2; 4) 

Equações irracionais

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:

Resolvendo uma equação irracional

Exemplo 1



1º passo: isolar o radical


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado


3º passo: organizar a equação
x² - 10x +25 – x – 7 = 0
x² - 11x + 18 = 0

4º passo: resolver a equação x² - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.


∆ = (-11)² - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49

x’ = (11+7)/2 = 9

x” = (11 – 7)/2 = 2

5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.

x = 9
Portanto, 9 não serve.

x = 2

A única solução da equação é 2.

Equações Biquadradas

Observe as equações: x4 - 13x2 + 36 = 0 9x4 - 13x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 6 = 0 Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos. Denominamos essas equações de equações biquadradas. Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma: ax4 + bx2 + c = 0 Exemplos: x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 8x2 = 0 3x4 - 27 = 0 Cuidado!       x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0 As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

Relações entre os coeficientes e as raízes

Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

                                                                Soma das raízes (S)

                                                               Produto das raízes (P)

Equações Literais

Existem equações que possuem outras letras além da variável x, elas representam valores reais. Essas equações recebem o nome de equações literais do 1º grau na incógnita x. Exemplos: 

 xb = 6 
 2ax + 3a = bx 
 px + n = p 
 2x + 4m = x + 9m 
 2ax – 4ax = 3b + x 
 ax – 8x = 6a + 8 

Resolução de Equações Literais 

Exemplo 1 
3x + 3m = x + 9m 
3x – x = 9m – 3m 
2x = 6m 
x = 6m/2 
x = 3m 

Delta e Bhaskara

Equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau e possuem uma única raiz real. Já as equações completas do 2º grau possuem a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0 e devem ser resolvidas com o uso da fórmula de Bháskara.

Discriminante: ∆ = b² - 4ac
Condições:
∆> 0 (número positivo): duas raízes reais e diferentes
∆< 0 (número negativo): nenhuma raiz real
∆= 0: duas raízes reais

onde a, b e c são os coeficientes da equação.

Discriminante: ∆ = b² - 4ac
Condições:
∆> 0 (número positivo): duas raízes reais e diferentes
∆< 0 (número negativo): nenhuma raiz real
∆= 0: duas raízes reais

Vídeo aulas sobre equações do 2ºgrau

http://www.youtube.com/watch?v=VdAxz2CdUGU

Exercícios de Equações de 2º Grau

1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) 5x2 - 3x - 2 = 0 b) 3x2  + 55 = 0 c) x2 - 6x = 0 d) x2 - 10x + 25 = 0