Domínio, contradomínio e imagem

Domínio, Contra-Domínio e Imagem de uma função
Em uma função f : A ! B o domínio é o conjunto A e o contra-domínio é o conjunto B. A imagem de
f é o subconjunto de B cujos elementos estão associados a algum elemento do domínio. Genericamente
denotamos os pares ordenados de f por (x; y), onde x 2 A e y 2 B, e escrevemos y = f(x) (lê-se f de
x é igual a y). Dizemos que y é a imagem de x sob a função f. Dizemos também que x é a variável
independente e que y é a variável dependente. O Exemplo 1.3 ilustra tais conceitos.
Exemplo 1.3 Dados os conjuntos A =

1; 2; 3; 4
ª
e B =

4; 5; 6; 7
ª
, a relação mostrada na figura a
seguir dene uma função f : A ! B.
f
A B

f
A B
4 - 7
3-4
2-7
1-5

Nesta função temos:
² domínio: D(f) =

1; 2; 3; 4

² contra-domínio: CD(f) =

4; 5; 6; 7

² imagem: I(f) =

4; 5; 7

Função e relação

Dados os conjuntos A =

1; 3; 5; 7
ª
e B =

3; 9; 15; 20
ª
, a relação R : A ! B, tal que
R =

(a; b)j b = 3a
ª
;
é dada explicitamente pelos pares ordenados R =

(1; 3); (3; 9); (5; 15)
ª
. Uma outra maneira de se
representar uma relação é através do diagrama de Venn (Figura 1.1).
A B
5 - 15
3 - 9
1 - 3

Figura 1.1: Representação de uma relação por diagrama de Venn.

Sistemas de equações do 2º grau

Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:

Exemplo 1

Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6
x = 6 – y

Substituindo o valor de x na 1ª equação:

x² + y² = 20
(6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2)

y² – 6y + 8 = 0

∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4

a = 1, b = –6 e c = 8

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:

Para y = 4, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2

Par ordenado (2; 4) 

Equações irracionais

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:

Resolvendo uma equação irracional

Exemplo 1



1º passo: isolar o radical


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado


3º passo: organizar a equação
x² - 10x +25 – x – 7 = 0
x² - 11x + 18 = 0

4º passo: resolver a equação x² - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.


∆ = (-11)² - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49

x’ = (11+7)/2 = 9

x” = (11 – 7)/2 = 2

5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.

x = 9
Portanto, 9 não serve.

x = 2

A única solução da equação é 2.

Equações Biquadradas

Observe as equações: x4 - 13x2 + 36 = 0 9x4 - 13x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 6 = 0 Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos. Denominamos essas equações de equações biquadradas. Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma: ax4 + bx2 + c = 0 Exemplos: x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 8x2 = 0 3x4 - 27 = 0 Cuidado!       x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0 As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

Relações entre os coeficientes e as raízes

Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

                                                                Soma das raízes (S)

                                                               Produto das raízes (P)

Equações Literais

Existem equações que possuem outras letras além da variável x, elas representam valores reais. Essas equações recebem o nome de equações literais do 1º grau na incógnita x. Exemplos: 

 xb = 6 
 2ax + 3a = bx 
 px + n = p 
 2x + 4m = x + 9m 
 2ax – 4ax = 3b + x 
 ax – 8x = 6a + 8 

Resolução de Equações Literais 

Exemplo 1 
3x + 3m = x + 9m 
3x – x = 9m – 3m 
2x = 6m 
x = 6m/2 
x = 3m 

Delta e Bhaskara

Equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau e possuem uma única raiz real. Já as equações completas do 2º grau possuem a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0 e devem ser resolvidas com o uso da fórmula de Bháskara.

Discriminante: ∆ = b² - 4ac
Condições:
∆> 0 (número positivo): duas raízes reais e diferentes
∆< 0 (número negativo): nenhuma raiz real
∆= 0: duas raízes reais

onde a, b e c são os coeficientes da equação.

Discriminante: ∆ = b² - 4ac
Condições:
∆> 0 (número positivo): duas raízes reais e diferentes
∆< 0 (número negativo): nenhuma raiz real
∆= 0: duas raízes reais