quinta-feira, 7 de junho de 2012

Equação do 2º grau

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.



Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:




1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?)
? = b² – 4 * a * c
? = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
? = 4 + 12
? = 16

2º passo


Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.


Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

? = b² – 4 * a * c
? = 8² – 4 * 1 * 16
? = 64 – 64
? = 0





No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.


Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

? = b² – 4 * a * c
? = 6² – 4 * 10 * 10
? = 36 – 400
? = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais




Operações matemáticas com radicais

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:

a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos

1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2
3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14

Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica)



2º CASO: Os radicais são semelhantes.

Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.

Exemplos:

a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7



MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos

Exemplos:

a) √5 . √7 = √35
b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5
d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice

Exemplos

a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500
b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243



Radicais Semelhantes

Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando

Exemplos de radicais semelhantes

a) 7√5 e -2√5
b) 5³√2 e 4³√2

Exemplos de radicais não semelhantes

a) 5√6 e 2√3
b) 4³√7 e 5√7

Simplificação de radicais


Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simplis e equivalentes ao radical dado

1º) CASO: O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (diferente de zero)

Exemplos

a) ¹²√3¹⁰ = ¹²⁾²√3¹⁰⁾² = ⁶√3⁵
b) ⁹√7¹² = ⁹⁾³√7¹²⁾³ = ³√7⁴

Conclusão:
Um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número.

Radicais


Sabemos que:

a) √25 = 5 porque 5² = 25
b) ³√8 = 2 porque 2³ = 8
c) ⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16

Sendo a e b numeros reais positivos e n um número inteiro maior que 1 temos por definição que:

ⁿ√a = b -- bⁿ = a

lembramos que os elementos de ⁿ√a = b são assim denominados

√ = sinal do radical
n = índice do radical
a = radicando
b = raiz

nota:

Quando o índice é 2 , usualmente não se escreve.

Exemplos :

a) ²√9 = √9
b) ²√15 = √15

ÍNDICE PAR

Se n é para, todo número real positivo tem duas raízes.
Veja:

(-7)² = 49
(+7)² = 49

sendo assim √49 = 7 ou -7

Como o resultado de uma operação deve ser único vamos convencionar que:

√49 = 7

-√49 = -7

exemplos

a) √25 = 5
b) -√25 = -5
c) ⁴√16 = 2
d) -⁴√16 = -2

NOTA: não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for para.
Veja:
a) √-9 = nenhum real porque (nenhum real)² = -9
b) √-16 = nenhum real porque (nenhum real)² = -16


ÍNDICE ÍMPAR

Se n é ímpar ], cada número real tem apenas uma única raiz
Exemplos:

a) ³√8 = 2 porque 2³ = 8
b) ³√-8 = -2 porque (-2)³ = -8
c) ⁵√1 = 1 porque 1⁵ = 1
d) ⁵√-1 = -1 porque (-1)⁵ = -1

Radicando positivo a raiz é positiva
Radicando negativo e índice ímpar a raiz é negativa

Propiedades de potenciação

POTÊNCIA COM MESMA BASE

Para facilitar as operações entre potencias, emprega-se as seguintes propriedades:

1) aⁿ . aⁿ = aⁿ ⁺ ⁿ
exemplo: 2³ . 2⁸ = 2¹¹

2) aⁿ : aⁿ = aⁿ ⁻ ⁿ
exemplo: 3¹⁰ : 3² = 3⁸

3) (aⁿ)ⁿ = aⁿ ˙ ⁿ
exemplo: (7³)⁴ = 7³ ˙ ⁴ = 7¹²

4) (a . b )ⁿ = aⁿ . bⁿ
exemplo (5 . 3)² = 5². 3²




Potência


Potência é um produto de fatores iguais.

aⁿ = a .a . a.....................a (n fatores)

O número real a é chamado de base e o número natural n é chamado de expoente da potência.

Exemplos

a) 2⁴ = 2 . 2 . 2 .2 = 16
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
d) (1/2)² = (1/2) . (1/2) = ¼


1) Toda potência de expoente 1 é igual à base.
a¹ = a
exemplo: (-3)¹ = -3

2) Toda potência de espoente zero é igual a 1.
a⁰ = 1
exemplo: (-5)⁰ = 1

3) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a≠0 e n inteiro)
exemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8






Desafio de Lógica


Há cinco casas de 5 diferentes cores, em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade. Esses cinco proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarro e têm um certo animal de estimação. Aliás, nenhum deles possui o mesmo animal nem fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida. 

Complete todas as informações na tabela, segundo as próximas cardicas.

Veja a resposta em:http://www.profcardy.com/desafios/aplicativos.php?id=11
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Enunciado4) Calcule 432 e (43)2. 



No primeiro caso elevamos o 3 ao quadrado, que dá 9 e depois elevamos 4 à nona potência;
Já no segundo caso elevamos o 4 ao cubo, que dá 64 e depois elevamos 64 à segunda potência:
Os cálculos são diferentes porque os parênteses mudam a ordem normal na qual as operações devem ser realizadas.
Logo:
Resposta432 = 262144 e (43)2 = 4096.



'Produto de potências da mesma base.Nesse caso conservaremos a base e somaremos os expoentes. 

22 . 23 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32 


'Quociente de potências de mesma base.Nesse caso, conservaremos a base e subtrairemos os expoentes.


128 : 126 = 128 – 6 = 122 = 144  


'Potência de potência.Nesse caso, conservaremos a base e multiplica os expoentes.


(32)3 = 32 . 3 = 36 


'Potência de um produto ou de um quociente.



3 x 4)3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4) 
(3 x 4)3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 
(3 x 4)3 = 27 x 64 
(3 x 4)3 = 1728 

#Base negativa expoente par, resultado positivo.

#Base negativa expoente impar, resultado negativo.

#Nos casos de frações, observar se as mesmas estão entre parenteses.

#Vale lembrar, que os parenteses modificam a conta.

O expoente é 1:

a¹=a

7=7¹

O expoente é zero,com a base não nula:

a^0 = 1\, 
O resultado será sempre 1
não importa o valor da base

Introdução

Esse blog foi solicitado pelo professor de matemática, Anderson Macedo do Centro Educacional Objetivo ,turno vespertino 9ºano.

A equipe é composta por:


Aline Ribeiro
Tainá Richelly
Davi Wesley
Adonai Alisson
João Victor 
Evan Victor